Puissances et racines : règles de calcul
aⁿ, racine carrée, exposants négatifs : les règles de calcul sur les puissances et les racines, avec des exemples pour chaque cas.
Règles de base des puissances
aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ (aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
Cas particuliers
| Expression | Valeur |
|---|---|
| a⁰ | 1 (pour a ≠ 0) |
| a¹ | a |
| a⁻ⁿ | 1 / aⁿ |
| a^(1/2) | √a |
| a^(1/n) | racine n-ième de a |
Un exposant négatif ne rend pas le résultat négatif — il indique un inverse : 2⁻³ = 1/2³ = 1/8, pas −8.
Racines
√(a × b) = √a × √b √(a / b) = √a / √b √a × √a = a
Exemples résolus
2³ × 2² = 2⁵ = 32 (3²)³ = 3⁶ = 729 5⁻² = 1/25 = 0,04 √144 = 12 (car 12 × 12 = 144) 27^(1/3) = 3 (racine cubique de 27)
Notation scientifique
a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 6 500 000 = 6,5 × 10⁶ 0,00042 = 4,2 × 10⁻⁴
La notation scientifique s'appuie directement sur les puissances de 10 : un exposant positif décale la virgule vers la droite (grand nombre), un exposant négatif la décale vers la gauche (petit nombre). Très utilisée en sciences pour manipuler des nombres très grands ou très petits sans écrire toutes les décimales.
Rationaliser un dénominateur
1/√2 = (1 × √2) / (√2 × √2) = √2/2
Multiplier numérateur et dénominateur par la même racine élimine la racine du dénominateur — une convention d'écriture qui facilite la comparaison et le calcul manuel de fractions contenant des racines.
Une racine carrée n'a de valeur réelle que pour un nombre positif ou nul : √(−4) n'existe pas dans les nombres réels (c'est un nombre imaginaire, noté 2i, en mathématiques avancées).
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